Линейчатые поверхности

Линейчатые поверхности в архитектуре [ править ]

Поверхности с двойной линией – это вдохновение для изогнутых гиперболоидных структур, которые можно построить с помощью решетки из прямых элементов, а именно:

• Гиперболические параболоиды, например, двускатные крыши .
• Гиперболоиды одного листа, такие как градирни и некоторые урны для мусора .

В ракетном двигателе RM-81 Agena использовались прямые охлаждающие каналы , расположенные на линейчатой ​​поверхности и образующие горловину сопловой секции.

• Охлаждение гиперболические башни на электростанции Didcot , Великобритания; поверхность может быть двояко линейчатой.

• Дважды управляемая водонапорная башня с тороидальным резервуаром, работы Яна Богуславского в Цехануве , Польша.

• Гиперболоидная башня порта Кобе , Кобе , Япония, с двойной линией.

• Гиперболоидная водонапорная башня 1896 года в Нижнем Новгороде .

• Сетчатая оболочка из Шуховской башни в Москве, чьи участки вдвойне правила.

• Винтовая лестница с линейками внутри Торраццо Кремоны .

• Деревенская церковь в Село, Словения: и крыша (коническая), и стена (цилиндрическая) являются линейчатыми поверхностями.

• Гиперболический параболоид крыша железнодорожной станции Варшава Ochota в Варшаве , Польша.

• Линейчатая коническую шляпу .

• Гофрированная черепица, разделенная параллельными линиями в одном направлении и синусоидальными в перпендикулярном направлении.

• Устройство плоской поверхности путем разметки ( стяжки ) бетона.

7.9. Пересечение прямой с поверхностью конуса

Пусть задан прямой круговой конус и прямая общего положения m (Рисунок 7.14). Найти точки «входа» и «выхода» прямой с поверхностью конуса.

1. Через прямую m проводим вспомогательную секущую плоскость σ, дающую в сечении наиболее простую фигуру.
2. Применение в качестве вспомогательной секущей плоскости проецирующей плоскости в данном случае нецелесообразно, так как в сечении получится кривая второго порядка, которую нужно строить по точкам.

Наиболее простая фигура – треугольник. Для этого секущая плоскость σ должна пройти через вершину S. Плоскость зададим с помощью двух пересекающихся прямых σ=SM∩MN или, что, то же самое,  (σ=SM∩m).

1. Возьмем на прямой m точку А и соединим её с вершиной. Прямая SA пересечёт плоскость основания в точке М.
2. Построим горизонтальные проекции этих объектов.
3. Продлим фронтальную проекцию прямой m до пересечения с плоскостью основания в точке N.

Рисунок 7.14 – Построение точек пересечения прямой с поверхностью конуса

1. Построим её горизонтальную проекцию.
2. Соединим точки M₁N₁, на пересечении с окружностью основания получим точки 1 и 2.
3. Строим треугольник сечения конуса плоскостью σ, соединив точки 1 и 2 с вершиной S.
4. На пересечении образующих 1-S и 2-S с прямой m получим искомые точки K и L.
5. Определим видимость прямой относительно поверхности конуса.

На анимации ниже представлена последовательность построения точек пересечения прямой с поверхностью конуса.

Интерактивная модель Пересечение прямой с конической поверхностью

7.12. Пересечение конуса плоскостью

Рассмотрим пять возможных вариантов расположения плоскости относительно поверхности прямого кругового конуса. Пусть плоскость сечения перпендикулярна плоскости проекций π₂ (Рисунок 7.16).

Рисунок 7.16

1. Если плоскость проходит через вершину (1) – в сечении две образующие и прямая пересечения с плоскостью основания.
2. Если плоскость перпендикулярна оси вращения конуса (2) – в сечении окружность.
3. Если плоскость не параллельна ни одной образующей (пересекает все образующие (3)) – в сечении эллипс.
4. Если плоскость параллельна одной образующей конуса – в сечении парабола (на примере – плоскость сечения (4) параллельна крайней образующей конуса).
5. Если плоскость параллельна двум образующим (пересекает обе полости конической поверхности (5)) – в сечении гипербола (рисунок 7.17).

Рисунок 7.17. Плоскость сечения параллельна двум образующим конуса

Ниже, на моделях, представлены варианты положения секущей плоскости относительно поверхности конуса, при которых получаются сечения в виде эллипса, параболы и гиперболы.

Рисунок 7.18 – Сечение конической поверхности плоскостью (а — эллипс, б — парабола, в — гипербола)

Рассмотрим пример построения сечения конической поверхности плоскостью.

Рисунок 7.19 – Построение пересечения конической поверхности плоскостью

Пусть задана секущая проецирующая плоскость σ⊥π₂ (Рисунок 7.19). Если продлить коническую поверхность и проекцию плоскости, то видно, что плоскость пересекает вторую ветвь конической поверхности, следовательно, в сечении получится гипербола.

1. Построим характерные точки. Это точки, лежащие на крайних образующих и на окружности основания конуса (1, 2, 3). Их проекции строятся по линиям проекционной связи.
2. Для построения промежуточных точек, воспользуемся методом вспомогательных секущих плоскостей. Введём плоскость α⊥π₂ и перпендикулярно оси вращения, что даст в сечении окружность радиусом r. Строим эту окружность на π₁. Плоскость α пересекает и заданную плоскость сечения по прямой, проекции которой на π₁ и π₃ совпадают с линиями проекционной связи.
3. На пересечении этих двух сечений на плоскости проекций π₁ строим точки 4, 5. Профильные проекции этих точек строим по линии проекционной связи, откладывая расстояние от оси вращения конуса, равное Δ.
4. Аналогично строим точки 6, 7. Плавно соединим построенные точки, образуя гиперболу.
5. Обведём то, что осталось от конуса после такого среза с определением видимости. В нашем примере все проекции построенной кривой будут видимы.

На анимации ниже представлена последовательность построения пересечения конической поверхности плоскостью.

Линейчатая поверхность – второе – порядок

Линейчатая поверхность второго порядка в общем случае вполне определяется тремя прямыми; поэтому возьмем сначала в качестве исходной поверхности линейчатую поверхность. Заданная прямолинейная образующая и две близких образующих определяют квадрику, имеющую предел L, когда две последние образующие стремятся к заданной. Вторая система прямолинейных образующих квадрики L состоит из прямых, встречающих три бесконечно близких образующих исходной поверхности.  

Выше были рассмотрены линейчатые поверхности второго порядка: цилиндр, конус, гиперболический параболоид и однополостныи гиперболоид. Теперь рассмотрим остальные поверхности второго порядка, нелинейчатые: эллипсоид, эллиптический параболоид и двуполостный гиперболоид.  

Выше были рассмотрены линейчатые поверхности второго порядка: цилиндр, конус, гиперболический параболоид и однополостный гиперболоид. Теперь рассмотрим остальные поверхности второго порядка, нелинейчатые: эллипсоид, эллиптический параболоид и двуполостный гиперболоид.  

Возвращаясь к вопросу об образующих линейчатой поверхности второго порядка, можем показать, что любые две образующие одной и той же серии могут быть приняты за оси проективных пучков плоскостей, определяющих данную линейчатую поверхность.  

С точки зрения аффинных свойств линейчатых поверхностей второго порядка последние могут быть разбиты на два класса. Те поверхности, для которых несобственная плоскость является секущей, называются однополости ы ми гиперболоидами ( черт. Те же поверхности, которые касаются несобственной плоскости, называются гиперболическими параболоидами ( черт.  

Таким образом, получили известное свойство линейчатых поверхностей второго порядка: линейчатая поверхность второго порядка содержит два семейства действительных прямолинейных образующих, при этом образующие одного семейства между собой i e пересекаются, но каждая образующая одного семейства пересекает нее обра зующие другого семейства. Последняя часть уторждсния справедлива ночо-му, чти Р плоскости 1 каждая прям.  

Первые три варианта возможны лишь при пересечении линейчатых поверхностей второго порядка, так как в состав их линии пересечения входят прямые. Первый вариант получается, если пересекающиеся поверхности второго порядка имеют одну общую образующую.  

Благодаря большому принципу двойственности возможно изучение так называемых линейчатых поверхностей второго порядка посредством изучения плоских пучков второго порядка. Действительно, пучки второго порядка построены на проективных точечных рядах. Но каждый ряд точек на прямой соответствует пучку плоскостей. Соответственные плоскости двух проективных пучков пересекаются по прямым, которые и являются образующими линейчатых поверхностей.  

Но оказывается, что кроме конусов и цилиндров линейчатыми поверхностями второго порядка являются еще однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид. Этот факт на взгляд не очевиден, однако легко доказывается алгебраически.  

Но оказывается, что кроме конусов и цилиндров линейчатыми поверхностями второго порядка являются еще однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид. Этот факт на взгляд не очевиден, однако легко доказывается алгебраически.  

Кривая с3 может быть получена в результате пересечения двух линейчатых поверхностей второго порядка с общей образующей, если вдоль этой образующей они не касаются.  

Мы уже видели, что произвольная плоскость со пересекает линейчатую поверхность второго порядка по кривой второго порядка. Следовательно, кривая второго порядка распадается в этом случае на пару прямых. Плоскость со называется в этом случае касательной плоскостью.  

Следовательно, имеем два проективных пучка плоскостей, которые образуют линейчатую поверхность второго порядка.  

Таким образом, получили известное свойство линейчатых поверхностей второго порядка: линейчатая поверхность второго порядка содержит два семейства действительных прямолинейных образующих, при этом образующие одного семейства между собой i e пересекаются, но каждая образующая одного семейства пересекает нее обра зующие другого семейства. Последняя часть уторждсния справедлива ночо-му, чти Р плоскости 1 каждая прям.  

Однако это не означает, что однополостными гиперболоидами и гиперболическими параболоидами исчерпываются все линейчатые поверхности второго порядка. Линейчатые поверхности второго порядка, не являющиеся ни гиперболоидами, ни параболоидами, мы изучим в следующих пунктах.  

Касательные плоскости, развертываемые поверхности

Для необходимых здесь выводов всегда предполагается, что они также существуют.

Чтобы вычислить вектор нормали в точке, нужны частные производные представления  :
Икс(ты,v)знак равноc(ты)+vр(ты){\ displaystyle \ quad \ mathbf {x} (u, v) = \ mathbf {c} (u) + v \; \ mathbf {r} (u)}

Икстызнак равноc˙(ты)+vр˙(ты) {\ displaystyle \ mathbf {x} _ {u} = \ mathbf {\ dot {c}} (u) + v \; \ mathbf {\ dot {r}} (u) \} ,Иксvзнак равнор(ты){\ displaystyle \ quad \ mathbf {x} _ {v} = \; \ mathbf {r} (u)}

пзнак равноИксты×Икстызнак равноc˙×р+v(р˙×р) .{\ displaystyle \ mathbf {n} = \ mathbf {x} _ {u} \ times \ mathbf {x} _ {u} = \ mathbf {\ dot {c}} \ times \ mathbf {r} + v (\ mathbf {\ dot {r}} \ times \ mathbf {r}) \.}

Поскольку скалярное произведение (позднее произведение с двумя равными векторами всегда равно 0!), В каждой точке есть касательный вектор . Касательные плоскости вдоль этой прямой идентичны, если они кратны . Это возможно только в том случае, если три вектора лежат в одной плоскости, т.е. ЧАС. линейно зависимы. Линейную зависимость трех векторов можно определить с помощью определителя этих векторов:
п⋅рзнак равно{\ Displaystyle \ mathbf {п} \ cdot \ mathbf {r} = 0}р(ты){\ Displaystyle \ mathbf {r} (и_ {0})}Икс(ты,v){\ Displaystyle \ mathbf {х} (и_ {0}, v)}р˙×р{\ displaystyle \ mathbf {\ dot {r}} \ times \ mathbf {r}}c˙×р{\ displaystyle \ mathbf {\ dot {c}} \ times \ mathbf {r}}c˙,р˙,р {\ Displaystyle \ mathbf {\ точка {с}} \ ;, \; \ mathbf {\ точка {r}} \ ;, \; \ mathbf {r} \}

Касательные плоскости вдоль прямой совпадают, еслиИкс(ты0,v)знак равноc(ты0)+vр(ты0){\ displaystyle \ mathbf {x} (u_ {0}, v) = \ mathbf {c} (u_ {0}) + v \; \ mathbf {r} (u_ {0})}

Det(c˙(ты),р˙(ты),р(ты))знак равно .{\ displaystyle \ det (\ mathbf {\ dot {c}} (u_ {0}) \ ;, \; \ mathbf {\ dot {r}} (u_ {0}) \ ;, \; \ mathbf {r } (u_ {0})) \; = \; 0 \.}

Генеративная форма, к которой это применимо, называется торсальной .

Линейчатая поверхность точно тогда раскручивается в плоскость, когда для всех точек гауссова кривизна равна нулю. Это так тогда и только тогда, когдаИкс(ты,v)знак равноc(ты)+vр(ты){\ displaystyle \ quad \ mathbf {x} (u, v) = \ mathbf {c} (u) + v \; \ mathbf {r} (u)}

Det(c˙,р˙,р)знак равно{\ displaystyle \ det (\ mathbf {\ dot {c}} \; \; \ mathbf {\ dot {r}} \ ;, \; \ mathbf {r}) \; = \; 0 \ quad}

применяется в каждой точке, d. т. е. если каждый образующий – торсальный. Поэтому развивающуюся область также называют торсом .

Свойства развертывающейся поверхности:

• Генераторы представляют собой семейство асимптотических линий , а также семейство линий кривизны .
• Разворачивающаяся поверхность – это либо (общий) цилиндр, либо (общий) конус, либо касательная поверхность (поверхность, состоящая из касательных пространственной кривой).

Линейчатые поверхности в алгебраической геометрии

В алгебраической геометрии линейчатые поверхности были первоначально определены как проективные поверхности в проективном пространстве, содержащие прямую линию, проходящую через любую заданную точку. Это сразу означает, что есть проективная линия на поверхности, проходящая через любую заданную точку, и это условие теперь часто используется как определение линейчатой ​​поверхности: линейчатые поверхности определяются как абстрактные проективные поверхности, удовлетворяющие этому условию, что существует проективная линия. через любую точку. Это эквивалентно тому, что они бирациональны по отношению к произведению кривой и проективной прямой. Иногда линейчатую поверхность определяют как поверхность, удовлетворяющую более сильному условию, что она имеет расслоение над кривой со слоями, которые являются проективными прямыми. Это исключает проективную плоскость, которая имеет проективную прямую через каждую точку, но не может быть записана как такое расслоение.

Линейчатые поверхности появляются в классификации Энриквеса проективных комплексных поверхностей, потому что каждая алгебраическая поверхность размерности Кодаира является линейчатой ​​поверхностью (или проективной плоскостью, если использовать ограничительное определение линейчатой ​​поверхности). Любая минимальная проективная линейчатая поверхность, отличная от проективной плоскости, является проективным расслоением двумерного векторного расслоения над некоторой кривой. Линейчатые поверхности с базовой кривой рода 0 являются поверхностями Хирцебруха .
-∞{\ displaystyle – \ infty}

Ссылки [ править ]

1. ^ Г. Фарин: Кривые и поверхности для компьютерного геометрического проектирования , Academic Press, 1990, ISBN  0-12-249051-7 , стр. 250
2. ^ В. Вундерлич: Über Эйн abwickelbares Möbiusband , Ежемесячнике für Mathematik 66, 1962, С. 276-289.
3. ^ В. Кюнель: Дифференциальная геометрия, стр. 58–60
4. ^ Г. Фарин: с. 380
5. ^ Э. Хартманн: Геометрия и алгоритмы для САПР , конспект лекции, TU Дармштадт, стр. 113
6. ^ Тан, Бо, Валлнер, Поттманн: Интерактивный дизайн складывающихся поверхностей , ACM Trans. График. (МЕСЯЦ 2015), DOI: 10.1145 / 2832906
7. ^ Снежана Lawrence : развертывающиеся поверхности: их история и применение , в Nexus Network Journal 13 (3) · Октябрь 2011, DOI : 10.1007 / s00004-011-0087-г

• Ду Карму, Манфредо П.: Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей , Прентис-Холл; 1 издание, 1976 ISBN 978-0132125895 
• Barth, Wolf P .; Хулек, Клаус; Питерс, Крис AM; Ван де Вен, Антониус (2004), Компактные сложные поверхности , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 4 , Springer-Verlag, Berlin, doi : 10.1007 / 978-3-642-57739-0 , ISBN 978-3-540-00832-3, MR  2030225
• Бовиль, Арно (1996), Комплексные алгебраические поверхности , Студенческие тексты Лондонского математического общества, 34 (2-е изд.), Cambridge University Press , DOI : 10.1017 / CBO9780511623936 , ISBN 978-0-521-49510-3, Руководство по ремонту  1406314
• Edge, WL (1931), Теория линейчатых поверхностей , Cambridge University Press – через Интернет-архив. Обзор: Бюллетень Американского математического общества 37 (1931), 791-793, DOI : 10.1090 / S0002-9904-1931-05248-4
• Fuchs, D .; Табачников, Серж (2007), «16.5 Не бывает неплоских трехлинейчатых поверхностей», Математический омнибус: тридцать лекций по классической математике , Американское математическое общество, с. 228, ISBN 9780821843161.
• Ли, Ta-chʻien (ред.) (2011), Проблемы и решения в математике, 3103 (2-е изд.), World Scientific Publishing Company.
• Гильберт, Дэвид ; Кон-Фоссен, Стефан (1952), Геометрия и воображение (2-е изд.), Нью-Йорк: Челси, ISBN 978-0-8284-1087-8.
• Исковских В.А. (2001) , “Линейчатая поверхность” , Энциклопедия математики , EMS Press
• Sharp, John (2008), D-Forms: удивительные новые трехмерные формы из плоских изогнутых форм , Tarquin, ISBN 978-1-899618-87-3. Обзор: блестки, Carlo H. (2009), Журнал математики и искусство 3: 229-230, DOI : 10,1080 / 17513470903332913

Применение и история разворачивающихся поверхностей [ править ]

Развивающееся соединение двух эллипсов и его развитие

Детерминантное условие для развертывающихся поверхностей используется для определения численно складываемых связей между пространственными кривыми (директрисами). На схеме показана развивающаяся связь между двумя эллипсами, находящимися в разных плоскостях (одна горизонтальная, другая вертикальная), и ее развитие.

Впечатление об использовании развертываемых поверхностей в автоматизированном проектировании ( САПР ) дается в документе « Интерактивное проектирование развертываемых поверхностей»

Историческое исследование по развёртывающимся можно найти в развертывающейся поверхности: их история и применение

Презентация на тему: ” Линейчатые поверхности Образование поверхностей. Линейчатой поверхностью называется поверхность, образованная перемещением прямолинейной образующей по.” — Транскрипт:

1

Линейчатые поверхности Образование поверхностей

2

Линейчатой поверхностью называется поверхность, образованная перемещением прямолинейной образующей по одной или более направляющим

3

Цилиндрическая поверхность m (m; S ) S // Цилиндрическая поверхность образуется движением прямой (образующей) по некоторой кривой m параллельно самой себе или имеющей постоянное направление S

4

i m ( i, m; i ) Коническая поверхность Коническая поверхность – образуется движением прямой линии (о бразующей) по некоторой кривой линии m и имеющей неподвижную точку S S

5

Торсовая поверхность m m – ребро возврата ( m) Торсовая поверхность образуется движением прямой, касающейся во всех своих положениях некоторой пространственной направляющей кривой m, называемой ребром возврата

6

Однополостный гиперболоид

7

Многогранные поверхности – это поверхности, образованные частями (отсеками) пересекающихся плоскостей Многогранником называется тело, ограниченное многогранной поверхностью, состоящей из плоских многоугольников Отсеки плоскостей называются гранями, а линии их пересечения – ребрами Точки пересечения ребер называются вершинами

8

S m S m Пирамидальная поверхность S m Пирамида m – замкнутый контур Если направляющая m ломаная, а все образующие пересекаются в одной точке, такая поверхность называется пирамидальной Поверхность с замкнутой ломаной направляющей (m), общей точкой пересечения образующих ребер и граней называется пирамидой

9

Принадлежность точки поверхности

10

S А1А1 С1С1 В1В1 S2S2 X 1,2 S1S1 А2А2 С2С2 В2В2 Задача Построить недостающую проекцию точки N N2N2 N1N1

11

m S Призматическая поверхность m S Призма Если все образующие поверхности параллельны – поверхность называется призматической Поверхность с замкнутой ломаной направляющей (m) (основанием) и взаимно параллельными ребрами – призма

12

Проецирующая призма А В С С1С1 В1В1 А1А1 k2k2 k1k1 f1f1 g1g1 g2g2 f2f2 X 1,2 Если ребра призмы перпендикулярны основанию, гранник называется проецирующей призмой

13

Поверхности Каталана

14

0 m1m1 n1n1 1 1 n m n1n1 m1m1 2 m2m2 n2n2 Линейчатые поверхности с двумя направляющими (поверхности Каталана) П 2 (m,n,; П 2 ); Цилиндроид

15

Поверхность с плоскостью параллелизма и двумя скрещивающимися направляющими называется гиперболическим параболоидом, или косой плоскостью Гипар

16

m2m2 n2n2 n1n1 m1m1 Задача Построить каркас и очерк гипара, заданного определителем (m, n, П 2 ) I21I2 2I22I2 3I23I2 4I24I2 5I25I2 6I26I2 7I27I2 8I28I I21I2 2I22I2 3I23I2 4I24I2 5I25I2 6I26I2 7I27I2 8I28I2 // парабола ll 1 n m ; 1 1 ll П 2 Определить видимость очерковых линий

17

Винтовой поверхностью называют поверхность, образованную винтовым движением образующей Винтовым движением называют движение, при котором каждая точка А образующей вращается вокруг неподвижной оси i и одновременно перемещается поступательно вдоль этой оси Винтовая поверхность

18

n2n2 n1n1 гелиса А1А1 В1В1 ί1ί1 ί2ί2 Задача Построить каркас и очерк прямого геликоида А2А2 В2В (Прямой винтовой коноид) (n, i)

19

Задача А2А2 А1А1 В1В1 В2В2 i2i2 i1i1 Построить очерк однополостного гиперболоида вращения Однополостный гиперболоид вращения

7.6. Сферическая поверхность

Сферическая поверхность – поверхность, образованная вращением окружности вокруг отрезка, являющегося её диаметром.

Шаром называется тело, ограниченное сферической поверхностью.

Экватор – это окружность, которая получается пересечением сферы горизонтальной плоскостью, проходящей через ее центр (Рисунок 7.10).

Меридиан – это окружность, которая получается пересечением сферы плоскостью, перпендикулярной плоскости экватора и проходящей через центр сферы.

Параллелями называются окружности, которые получаются пересечением сферы плоскостями, параллельными плоскости экватора.

Рисунок 7.10 – Проецирование сферической поверхности

Прямоугольная проекция шара (сферы) на любую плоскость – есть окружность, которую часто называют очерковой.

Рисунок 7.11 – Эпюр сферы и принадлежащих ей точек

Состав линейчатых поверхностей

Это может быть два правили развертывающейся поверхности вдоль прямой линии или отрезать и положить их вместе так , что из и общей прямой композитной поверхности обрабатывают новой общей касательной плоскости его.
г{\ displaystyle g}ЧАС{\ displaystyle h}г{\ displaystyle g}ЧАС{\ displaystyle h}

В случае неразвертывающейся и развертывающейся линейчатой ​​поверхности объединенная таким образом поверхность не может быть дифференцирована по общей образующей . Общая образующая видна как кромка, причем кромка возникает по-разному в разных точках образующих. В случае двух неразвертывающихся линейчатых поверхностей составленную таким образом поверхность можно дифференцировать по общей образующей, но в общем случае это не так.

Линейчатые и нелинейчатые поверхности.

Линейчатые поверхности — поверхности, которые образуются с помощью прямой линии. Нелинейчатые поверхности — поверхности, которые образуются с помощью кривой линии. Развертывающиеся поверхности — поверхности, которые после разреза их по образующей могут быть совмещены с плоскостью без наличия разрывов и складок. Неразвертывающиеся поверхности — поверхности, которые не могут быть совмещены с плоскостью без наличия разрывов и складок. Поверхности с постоянной образующей — поверхности, образующая которых не изменяет своей формы в процессе образования поверхности. Поверхности с переменной образующей — поверхности, образующая которых изменяется в процессе образования поверхности.

Линейчатые развертываемые поверхности:

1. Конические поверхности задаются движением прямой линии l, проходящей через неподвижную точку М, по некоторой направляющей кривой линии а. (рис 128)

2. Цилиндрические поверхности задаются движением прямой, параллельной некоторому направлению, по заданной направляющей кривой. (рис 129)

3.

Поверхность с ребром возвратаа

Линейчатые неразвертываемые поверхности:

1) Цилиндроидобразован движением прямой, параллельной заданной плоскости параллелизма α, по двум пространственным кривым a и b.

2) Коноид образован движением прямой по одной прямолинейной направляющей n, по другой криволинейной направляющей m, оставаясь параллельной некоторой плоскости параллелизма α || π₁.

3) Гиперболический параболоид, или косая плоскость, задается двумя скрещивающимися прямыми направляющими АВ, CD и плоскостью параллелизма α(απ₁).

4) Однополостный гиперболоид образуется движением прямолинейной образующей l по трем прямолинейным скрещивающимся направляющим а, b, c.

5) Косой цилиндр с тремя направляющими образуется движением прямолинейной образующей по трем направляющим, одна из которых обязательно кривая.

Нелинейчатые неразвертываемые поверхности:

1) Эллипсоид трехосный образован движением переменного эллипса вдоль одной из трех его осей Х, Y, Z . Образующие эллипсы подобны.

2) Эллиптический параболоид образуется движением деформирующегося эллипса по двум направляющим параболам m и n

3) Двуполостный гиперболоид образуется движением изменяющегося эллипса по направляющей гиперболе вдоль действительной оси.

18. Точки и линии на поверхности.

Точка принадлежит поверхности, если она расположена на линии, принадлежащей поверхности. На поверхностях вращения в качестве таких линий удобно использовать параллели. Если на поверхности вращения (рис. 8.9) дана проекция М₂, то для нахождения параллели, которой принадлежит точка М, проводим через М фронтально-проецирующую плоскость s (М₂ ϵ s), такую что s ⊥ m. Тогда линия пересечения кривой поверхности с плоскостью s и даст искомую параллель. Радиус параллели равен расстоянию от оси вращения m₁ до точки поверхности 1₁. Этим радиусом проводим окружность с центром в точке m₁ (горизонтальной проекции оси вращения) и получаем горизонтальную проекцию параллели. На ней находим горизонтальные проекции точки М: М₁ — на видимой стороне кривой поверхности, а М’₁ — на невидимой.

Линия принадлежит поверхности, если все ее точки принадлежат этой поверхности. Исключение составляет случай, когда линия представлена прямой, а поверхность — плоскостью. В этом случае для принадлежности прямой плоскости достаточно, чтобы хотя бы две точки ее принадлежали этой поверхности.

Если линия не принадлежит поверхности, то они пересекаются. Простейшим случаем является пересечение с поверхностью прямой линии. Задача решается путем заключения данной линии в какую-либо проецирующую плоскость и построением натуральной величины сечения, из которого легко определить точку входа и выхода прямой.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Учись учиться, не учась! 10654 —

Неразвертывающиеся или косые поверхности

Их появление часто вызвано передвижением прямолинейной создающей вдоль пути, развитой тремя направляющими. Они непосредственно формируют закон перемещения и бывают прямыми или кривыми. Есть индивидуальные ситуации, когда траектория движения устанавливается:

• 2-мя направляющими и произвольной плоскостью;
• направляющими свободной формы и плоскостью параллелизма (к примеру, область проекции).

Направляющая поверхность замещает одну из линий пути. С ней двигающаяся прямая составляет постоянный угол.

Варианты подобных объектов: цилиндроид, коноид, гиперболический параболоид. Их главные характеристики приведены в таблице.

Вид	Определители (вместе с плоскостью параллелизма)	Характеристика	Некоторые сфере использования
Цилиндроид	2 кривые направляющие	Изобразить образующие на комплексных чертежах можно так: 1.Параллельно параллелизму провести серию плоскостей. 2.Определить точки, в которых кривые направляющие цилиндроида пересечены с плоскостями. Если за параллелизм принять одну из плоскостей уровня, что делает легче построение, то линии будут подходить линиям уровня.	Проектирование больших, крупного диаметра, воздушных каналов
Коноид	2 направляющие: · откровенная	1. Особенный случай цилиндроида. 2. Прямой коноид имеет направляющую прямолинейную, расположеную под прямым углом к области параллелизма.	Гидротехническое строительство, на конструкторском уровне опор мостов
Параболоид гиперболический (синонимично понятию косой плоскости)	2 пересекающиеся прямые направляющие	1. Изображается как несколько прямых по закону: создающая должна пересекать направляющие и проходить параллельно установленной области параллелизма. 2. При пересечении некоторыми плоскостями в сечениях получаются гиперболы и параболы.	При разрабатывании конструкций гидротехнических строений, дорог, откосов, шлюзов, каналов, крыльев ветряков

Линейчатые поверхности собой представляют математические абстракции, посредством которых можно получить представление о характеристиках предметов.

Их моделирование, математическое, геометрическое описание дают возможность проектировать разные тела и конструкции в автомобилестроении, архитектуре. Современные программы компьютерного проектирования, к примеру КОМПАС 3D, упрощают и автоматизируют процесс моделирования подобных объектов.

Если вы нашли погрешность, пожалуйста, выдилите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter.