Пружинный маятник: амплитуда колебаний, период, формула

Что такое пружинный маятник

Пружинным маятником в физике называют систему, совершающую колебательные движения под действием силы упругости.

Приняты следующие обозначения:

• m — масса тела;
• k — коэффициент жесткости пружины.

Общий вид маятника:

Особенностями пружинных маятников являются:

• Сочетание тела и пружины.

  Массой пружины обычно в расчетах пренебрегают. Роль тела могут играть различные объекты. На них оказывают действие внешние силы. Груз может крепиться разными способами. Витки пружины, которыми она начинается и заканчивается, изготавливают с учетом повышенной нагрузки;

• У любой пружины есть исходное положение, предел сжатия и растяжения.

  При максимальном сжатии зазора между витками нет. Когда она максимально растянута, возникает необратимая деформация;

• Полная механическая энергия появляется с началом процесса обратимого деформирования.

  В этот момент на объект не оказывает действие сила упругости;

• Колебательные движения происходят под влиянием силы упругости.

  Масштаб влияния определяется несколькими причинами (тип сплава, расположение витков и т. д.). Так как может происходить и сжатие и растяжение, можно сделать вывод, что сила упругости действует в двух противоположных направлениях;

• От массы тела, величины и направления прикладываемой силы зависит скорость в плоскости его перемещения.

  Например, если подвесить груз к пружине и, растянув её, отпустить, то груз будет перемещаться в двух плоскостях: вертикально и горизонтально.

Свободные колебания

Уравнение вида x ¨ + ω 0 2 x = 0 получило название уравнения свободных колебаний. Их физические свойства могут определять только собственную частоту колебаний ω 0 или период Т .

Амплитуда x m и начальная фаза φ 0 находят при помощи способа, который вывел их из состояния равновесия начального момента времени.

При наличии смещенного груза из положения равновесия на расстояние ∆ l и моменте времени, равном t = 0 , производится его опускание без начальной скорости. Тогда x m = ∆ l , φ 0 = 0 . Если груз находился в положении равновесия, то при толчке передается начальная скорость ± υ 0 , отсюда x m = m k υ 0 , φ 0 = ± π 2 .

Амплитуда x m с начальной фазой φ 0 определяются наличием начальных условий.

Рисунок 2 . 2 . 2 . Модель свободных колебаний груза на пружине.

Механические колебательные системы отличаются наличием сил упругих деформаций в каждой из них. Рисунок 2 . 2 . 2 показывает угловой аналог гармонического осциллятора, совершающий крутильные колебания. Диск располагается горизонтально и висит на упругой нити, закрепленной в его центре масс. Если его повернуть на угол θ , тогда возникает момент силы упругой деформации кручения M у п р :

Данное выражение не соответствует закону Гука для деформации кручения. Величина x аналогична k жесткости пружины. Запись второго закона Ньютона для вращательного движения диска принимает вид

I ε = M у п р = — x θ или I θ ¨ = — x θ , где моментом инерции обозначается I = I C , а ε – угловое ускорение.

Аналогично с формулой пружинного маятника:

ω 0 = x I , T = 2 π I x .

Применение крутильного маятника замечено в механических часах. Он получил название балансира, в котором создание момента упругих сил производится при помощи спиралевидной пружины.

Рисунок 2 . 2 . 3 . Крутильный маятник.

Звук

Звук – это колебания упругой среды, воспринимаемые органом слуха.

Условия, необходимые для возникновения и ощущения звука:

• наличие источника звука;
• наличие упругой среды между источником и приемником звука;
• наличие приемника звука; • частота колебаний должна лежать в звуковом диапазоне;
• мощность звука должна быть достаточной для восприятия.

Звуковые волны – это упругие волны, вызывающие у человека ощущение звука, представляющие собой зоны сжатия и разряжения, передающиеся на расстояние с течением времени.

Классификация звуковых волн:

• инфразвук (​\( \nu \)​ < 16 Гц);
• звуковой диапазон (16 Гц < \( \nu \) < 20 000 Гц);
• ультразвук (\( \nu \) > 20 000 Гц).

Скорость звука – это скорость распространения фазы колебания, т. е. области сжатия и разряжения среды.

Скорость звука зависит

от упругих свойств среды:

в воздухе – 331 м/с, в воде – 1400 м/с, в металле – 5000 м/с;

от температуры среды:

в воздухе при температуре 0°С – 331 м/с,
в воздухе при температуре +15°С – 340 м/с.

Характеристики звуковой волны

• Громкость – это величина, характеризующая слуховые ощущения человека, зависящая от амплитуды колебаний в звуковой волне. Единицы измерения – дБ (децибел).
• Высота тона – это величина, характеризующая слуховые ощущения человека, зависящая от частоты колебаний в звуковой волне. Чем больше частота, тем выше звук. Чем меньше частота, тем ниже звук.
• Тембр – это окраска звука.

Музыкальный звук – это звук, издаваемый гармонически колеблющимся телом. Каждому музыкальному тону соответствует определенная длина и частота звуковой волны.Шум – хаотическая смесь тонов.

Автоколебания

Иногда вынужденному колебанию не нужно внешнего воздействия, чтобы случиться. Бывают такие системы, в которых это внешние воздействие возникает само из-за способности регулировать поступление энергии от постоянного источника. 

У автоколебательной системы есть три важных составляющих:

• сама колебательная система
• источник энергии
• устройство обратной связи, обеспечивающей связь между источником и системой

Часы с кукушкой — пример автоколебательной системы. Гиря на ниточке (цепочке) стремится вращать зубчатое колесо (храповик). При колебаниях маятника анкер цепляет за зубец, и вращение приостанавливается.Но в результате маятник получает толчок, компенсирующий потери энергии из-за трения. Потенциальная энергия гири, которая постепенно опускается, расходуется на поддержание незатухающих колебаний.

Формула для расчета периода колебаний пружинного маятника

• Механика (56)
  • Кинематика (19)
  • Динамика и статика (32)
  • Гидростатика (5)
• Молекулярная физика (25)
  • Уравнение состояния (3)
  • Термодинамика (15)
  • Броуновское движение (6)
  • Прочие формулы по молекулярной физике (1)
• Колебания и волны (22)
• Оптика (9)
  • Геометрическая оптика (3)
  • Физическая оптика (5)
  • Волновая оптика (1)
• Электричество (39)
• Атомная физика (15)
• Ядерная физика (3)

• Квадратный корень, рациональные переходы (1)
• Квадратный трехчлен (1)
• Координатный метод в стереометрии (1)
• Логарифмы (1)
• Логарифмы, рациональные переходы (1)
• Модуль (1)
• Модуль, рациональные переходы (1)
• Планиметрия (1)
• Прогрессии (1)
• Производная функции (1)
• Степени и корни (1)
• Стереометрия (1)
• Тригонометрия (1)
• Формулы сокращенного умножения (1)

Сообщение от администратора:

Ребята! Кто давно хотел выучить английский?Переходите по моей ссылке и получите два бесплатных урока в школе английского языка SkyEng! Занимаюсь там сам — очень круто. Прогресс налицо.

В приложении можно учить слова, тренировать аудирование и произношение.

Попробуйте. Два урока бесплатно по моей ссылке! Жмите СЮДА

Период пружинного маятника — зависит от жёсткости пружины: с увеличением коэффициента жёсткости пружины период колебания маятника уменьшается

Пружинный маятник — это груз, колеблющийся на пружине. Он совершает возвратно-поступательное движение. Пружинный маятник подчиняется законам движения, по которым можно определить период его колебаний, зная массу груза и жесткость пружины. Период колебаний пружинного маятника не зависит от места его расположения и амплитуды колебаний.

Давайте выведем формулу периода пружинного маятника.

На груз m горизонтального пружинного маятника действуют сила тяжести (mg), сила реакции опоры (N) и сила упругости пружины (Fynp). Запишем второй закон Ньютона для данного случая :

Все проецируем на ось ОХ:

Запишем это уравнение в форме аналогичной уравнению движения гармонического осциллятора:

Сравнивая полученное выражение с уравнением гармонических колебаний у нас получается:

Из уравнения видно, что циклическая частота пружинного маятника будет иметь вид:

Тогда период колебаний пружинного маятника будет равен:

• Период физического маятника
• Период крутильного маятника
• В Формуле мы использовали :
• — Период пружинного маятника маятника
• — Масса груза
• — Изменение длины пружины
• — Коэффициент упругости пружины
• — Ускорение свободного падения
• — Циклическая частота пружинного маятника
• — Сила реакции опоры
• — Сила упругости

Формула периода колебаний пружинного маятника

1. Период — это минимальное время, за которое совершается одно полное колебательное движение.
2. Обозначают период буквой $T$.
3. где $Delta t$ — время колебаний; $N$ — число полных колебаний.

Уравнение колебаний пружинного маятника

Рассмотрим простейшую колебательную систему, в которой можно реализовать механические колебания. Это груз массы $m$, подвешенный на пружине, коэффициент упругости которой равен $k $(рис.1).

Рассмотри вертикальное движение груза, которое обусловлено действием силы тяжести и силы упругости пружины. В состоянии равновесия такой системы, сила упругости равна по величине силе тяжести.

Допустим, что масса пружины мала в сравнении с массой груза, при описании колебаний ее учитывать не будем. Началом отсчета будем считать точку на оси координат (X), которая совпадает с положением равновесия груза. В этом положении пружина уже имеет удлинение, которое обозначим $b$. Растяжение пружины происходит из-за действия на груз силы тяжести, следовательно:

• Если груз смещают дополнительно, но закон Гука еще выполняется, то сила упругости пружины становится равна:
• Ускорение груза запишем, помня, что движение происходит по оси X, как:
• Второй закон Ньютона для груза принимает вид:
• Учтем равенство (2), формулу (5) преобразуем к виду:
• Если ввести обозначение: $^2_0=frac$, то уравнение колебаний запишем как:
• где $^2_0=frac$ — циклическая частота колебаний пружинного маятника. Решением уравнения (7) (это проверяется непосредственной подстановкой) является функция:
• где $_0=sqrt>0$- циклическая частота колебаний маятника, $A$ — амплитуда колебаний; $_0t+varphi )$ — фаза колебаний; $varphi $ и $_1$ — начальные фазы колебаний.

Связь между внутренней энергией тела кинетической и потенциальной энергиями

Между кинетической и потенциальными понятиями есть определенная взаимосвязь. Для расчета подобной связи используется следующая формула: А=Fs=mav 2 ₂-v 2 ₁/2a.

Оба значения применяются в качестве полезного действия, могут варьировать в достаточно большом диапазоне, а также зависеть от различных факторов.

В заключение отметим, что проводимые расчеты позволяют выбрать наиболее подходящий вариант исполнения изделия для конкретного механизма. При исследовании проводится отображение схемы, на которой можно увидеть распространение всех сил.

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter.

Сила упругости в пружинном маятнике

Следует учитывать тот момент, что до деформирования пружины она находится в положении равновесия. Приложенная сила может приводить к ее растягиванию и сжиманию. Сила упругости в пружинном маятнике рассчитывается в соответствии с тем, как воздействует закон сохранения энергии. Согласно принятым нормам возникающая упругость пропорциональна смещению тела. В этом случае кинетическая энергия рассчитывается по формуле: F=-kx. В данном случае применяется коэффициент жесткости пружины.

Выделяют довольно большое количество особенностей воздействия силы упругости в пружинном маятнике. Среди особенностей отметим:

1. Максимальная сила упругости возникает на момент, когда тело находится на максимальном расстоянии от положения равновесия. При этом в подобном положении отмечается максимальное значение ускорение тела. Не следует забывать о том, что может проводится растягивание и сжатие пружины, оба варианта несколько отличается. При сжатии минимальная длина изделия ограничивается. Как правило, она имеет длину, равную диаметру витка умноженное на количество. Слишком большое усилие может стать причиной смещения витков, а также деформации проволоки. При растяжении есть момент удлинения, после которого происходит деформация. Сильное удлинение приводит к тому, что возникающей силы упругости недостаточно для возврата изделия в первоначальное состояние.
2. При сближении тела к месту равновесия происходит существенное уменьшение длины пружины. За счет этого наблюдается постоянное снижение показателя ускорения. Все это происходит за счет воздействия усилия упругости, которая связано с типом применяемого материала при изготовлении пружины и ее особенностями. Длина уменьшается за счет того, что расстояние между витками снижается. Особенностью можно назвать равномерное распределение витков, лишь только в случае дефектов есть вероятность нарушения подобного правила.
3. На момент достижения точки равновесия сила упругости снижается до нуля. Однако, скорость не снижается, так как тело движется по инерции. Точка равновесия характеризуется тем, что длина изделия в ней сохраняется на протяжении длительного периода при условии отсутствия внешнего деформирующего усилия. Точка равновесия определяется в случае построения схемы.
4. После достижения точки равновесия возникающая упругость начинает снижать скорость перемещения тела. Она действует в противоположном направлении. При этом возникает усилие, которое направлено в обратную сторону.
5. Дойдя крайней точки тело начинает двигаться в противоположную сторону. В зависимости от жесткости установленной пружины подобное действие будет повторятся неоднократно. Протяженность этого цикла зависит от самых различных моментов. Примером можно назвать массу тела, а также максимальное приложенное усилие для возникновения деформации. В некоторых случаях колебательные движения практически незаметны, но они все же возникают.

Приведенная выше информация указывает на то, что колебательные движения совершаются за счет воздействия упругости. Деформация происходит за счет приложенного усилия, которое может варьировать в достаточно большом диапазоне, все зависит от конкретного случая.

Гармонические колебания

Гармонические колебания – простейшие периодические колебания, при которых координата тела меняется по закону синуса или косинуса:

где ​\( x \)​ – координата тела – смещение тела от положения равновесия в данный момент времени; ​\( A \)​ – амплитуда колебаний; ​\( \omega t+\varphi_0 \)​ – фаза колебаний; ​\( \omega \)​ – циклическая частота; ​\( \varphi_0 \)​ – начальная фаза.

Если в начальный момент времени тело проходит положение равновесия, то колебания являются синусоидальными.

Если в начальный момент времени смещение тела совпадает с максимальным отклонением от положения равновесия, то колебания являются косинусоидальными.

Скорость гармонических колебаний Скорость гармонических колебаний есть первая производная координаты по времени:

где ​\( v \)​ – мгновенное значение скорости, т. е. скорость в данный момент времени.

Амплитуда скорости – максимальное значение скорости колебаний, это величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:

Ускорение гармонических колебаний Ускорение гармонических колебаний есть первая производная скорости по времени:

где ​\( a \)​ – мгновенное значение ускорения, т. е. ускорение в данный момент времени.

Амплитуда ускорения – максимальное значение ускорения, это величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:

Если тело совершает гармонические колебания, то сила, действующая на тело, тоже изменяется по гармоническому закону:

где ​\( F \)​ – мгновенное значение силы, действующей на тело, т. е. сила в данный момент времени.

Амплитуда силы – максимальное значение силы, величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:

Тело, совершающее гармонические колебания, обладает кинетической или потенциальной энергией:

где ​\( W_k \)​ – мгновенное значение кинетической энергии, т. е. кинетическая энергия в данный момент времени.

Амплитуда кинетической энергии – максимальное значение кинетической энергии, величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:

При гармонических колебаниях каждую четверть периода происходит переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно. В положении равновесия:

• потенциальная энергия равна нулю;
• кинетическая энергия максимальна.

При максимальном отклонении от положения равновесия:

• кинетическая энергия равна нулю;
• потенциальная энергия максимальна.

Полная механическая энергия гармонических колебаний При гармонических колебаниях полная механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий в данный момент времени:

Важно! Следует помнить, что период колебаний кинетической и потенциальной энергий в 2 раза меньше, чем период колебаний координаты, скорости, ускорения и силы. А частота колебаний кинетической и потенциальной энергий в 2 раза больше, чем частота колебаний координаты, скорости, ускорения и силы

Графики зависимости кинетической, потенциальной и полной энергий всегда лежат выше оси времени.

Если сила сопротивления отсутствует, то полная энергия сохраняется. График зависимости полной энергии от времени есть прямая, параллельная оси времени (в отсутствие сил трения).

Максимальная кинетическая энергия груза на пружине

Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия.

Для того, чтобы свободные колебания совершались по гармоническому закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению:

В этом соотношении ω – круговая частота гармонических колебаний. Таким свойством обладает упругая сила в пределах применимости закона Гука:

Силы любой другой физической природы, удовлетворяющие этому условию, называются квазиупругими .

При свободных механических колебаниях кинетическая и потенциальная энергии изменяются периодически. При максимальном отклонении тела от положения равновесия его скорость, а следовательно, и кинетическая энергия обращаются в нуль. В этом положении потенциальная энергия колеблющегося тела достигает максимального значения. Для груза на горизонтально расположенной пружине потенциальная энергия – это энергия упругих деформаций пружины.

Когда тело при своем движении проходит через положение равновесия, его скорость максимальна. В этот момент оно обладает максимальной кинетической и минимальной потенциальной энергией. Увеличение кинетической энергии происходит за счет уменьшения потенциальной энергии. При дальнейшем движении начинает увеличиваться потенциальная энергия за счет убыли кинетической энергии и т. д.

Таким образом, при гармонических колебаниях происходит периодическое превращение кинетической энергии в потенциальную и наоборот.

Если в колебательной системе отсутствует трение, то полная механическая энергия при свободных колебаниях остается неизменной.

Для груза на пружине:

Запуск колебательного движения тела осуществляется с помощью кнопки Старт . Остановить процесс в любой момент времени позволяет кнопка Стоп .

Графически показано соотношение между потенциальной и кинетической энергиями при колебаниях в любой момент времени

Обратите внимание, что в отсутствие затухания полная энергия колебательной системы остается неизменной, потенциальная энергия достигает максимума при максимальном отклонении тела от положения равновесия, а кинетическая энергия принимает максимальное значение при прохождении тела через положение равновесия

Задание 7. Верхний конец пружины идеального пружинного маятника неподвижно закреплён, как показано на рисунке. Масса груза маятника равна m, жёсткость пружины равна k. Груз оттянули вниз на расстояние x от положения равновесия и отпустили с начальной скоростью, равной нулю. Формулы А и Б позволяют рассчитать значения физических величин, характеризующих колебания маятника.

Установите соответствие между формулами и физическими величинами, значение которых можно рассчитать по этим формулам.

К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

1) амплитуда колебаний скорости

2) циклическая частота колебаний

3) максимальная кинетическая энергия груза

4) период колебаний

А) Имеем пружинный маятник массой m и жесткостью пружины k, тогда период свободных колебаний этого маятника определяется по формуле

Б) Для пружинного маятника известны формулы кинетической энергии

Пру­жин­ный ма­ят­ник, со­сто­я­щий из груза и лёгкой пру­жи­ны, со­вер­ша­ет ко­ле­ба­ния. В мо­мент, когда груз на­хо­дит­ся в край­нем по­ло­же­нии, его не­мно­го под­тал­ки­ва­ют вдоль оси пру­жи­ны в на­прав­ле­нии от по­ло­же­ния

рав­но­ве­сия. Как в ре­зуль­та­те этого из­ме­ня­ют­ся мак­си­маль­ная ки­не­ти­че­ская энер­гия груза ма­ят­ни­ка и ча­сто­та его ко­ле­ба­ний?

Для каж­дой ве­ли­чи­ны опре­де­ли­те со­от­вет­ству­ю­щий ха­рак­тер из­ме­не­ния:

3) не из­ме­ня­ет­ся

За­пи­ши­те в таб­ли­цу вы­бран­ные цифры для каж­дой фи­зи­че­ской ве­ли­чи­ны. Цифры в от­ве­те могут по­вто­рять­ся.

Мак­си­маль­ная ки­не­ти­че­ская энер­гия груза ма­ят­ни­ка

Ча­сто­та ко­ле­ба­ний ма­ят­ни­ка

Груз под­толк­ну­ли от по­ло­же­ния рав­но­ве­сия, от­ку­да сле­ду­ет, что ам­пли­ту­да ко­ле­ба­ний груза уве­ли­чит­ся. При этом уве­ли­чит­ся также и мак­си­маль­ная по­тен­ци­аль­ная энер­гия пру­жи­ны. По за­ко­ну со­хра­не­ния энер­гии, это при­ве­дет к уве­ли­че­нию мак­си­маль­ной ки­не­ти­че­ской энер­гии груза ма­ят­ни­ка.

Пе­ри­од и ча­сто­та пру­жин­но­го ма­ят­ни­ка за­ви­сят толь­ко от массы груза и жест­ко­сти пру­жи­ны. Таким об­ра­зом, при уве­ли­че­нии ам­пли­ту­ды ко­ле­ба­ний груза, ча­сто­та ко­ле­ба­ний ма­ят­ни­ка не из­ме­нит­ся.

Механическая работа. Мощность

\(A = F \cdot \Delta r \cdot \cos \alpha\) ,

где А – работа (Дж); F – сила (Н); Δr – перемещение тела (м); α – угол между вектором силы и вектором перемещения (рис. 1).

Данную формулу можно применять, если сила постоянна.

Рис. 1
A_тр = -F_тр·Δr ,

где A_тр – работа силы трения (Дж); F_тр – сила трения (Н); Δr – перемещение тела (м).

Работа силы трения отрицательная, т.к. сила трения и относительное перемещение тела направлены в противоположные стороны.

\(~P = \frac{A}{\Delta t}\) ,

где Р – мощность прибора (Вт); А – механическая работа, совершенная данным прибором (Дж); Δt – время, за которое совершена работа (с).

\(~\eta = \frac{A_p}{A_z}\) или \(~\eta = \frac{A_p}{A_z} \cdot 100%\) ,

где η – коэффициент полезного действия (КПД) (%); А_p – полезная работа (Дж); А_z – затраченная работа (Дж).

• Полезная работа – это работа, которую совершает механизм над телом,
• затраченная работа – это работа двигателя или энергия (тепловая, электроэнергия и т.п.), которую механизм израсходует (получает).

Графический способ определения механической работы

Пусть задан график зависимости проекции силы F_x от координаты х. Тогда работа при перемещении тела из точки с координатой x₁ в точку с координатой x₂ численно равна по величине площади фигуры, ограниченной графиком F_x(х), осью 0Х и перпендикулярами к x₁ и x₂ (рис. 2).

Рис. 2

• При перемещении тела из точки с координатой x₂ в точку с координатой x₁ площадь фигуры и, следовательно, работу будем считать отрицательной.
• Если разные участки тела поднимают на разные высоты, то изменение потенциальной энергии можно рассчитать для центра тяжести тела.
• Центр тяжести стержня находится в середине стержня; прямоугольника – на пересечении диагоналей; шара, обруча – в центре сферы, окружности.

Энергия кинетическая: формула и определение

Иногда значение механической работы можно рассматривать без употребления понятий силы и перемещения, акцентировав внимание на том, что работа характеризует изменение энергии тела. Все, что нам может потребоваться, — это масса некоего тела и его начальная и конечная скорости, что приведет нас к кинетической энергии. Кинетическая энергия (КЭ) — это энергия, принадлежащая телу вследствие собственного движения

Кинетическая энергия (КЭ) — это энергия, принадлежащая телу вследствие собственного движения.

Кинетическую энергию имеет ветер, ее используют для придания движения ветряным двигателям. Движимые массы воздуха оказывают давление на наклонные плоскости крыльев ветряных двигателей и заставляют их оборачиваться. Вращательное движение при помощи систем передач передается механизмам, выполняющим определенную работу. Движимая вода, оборачивающая турбины электростанции, теряет часть своей КЭ, выполняя работу. Летящий высоко в небе самолет, помимо ПЭ, имеет КЭ. Если тело пребывает в состоянии покоя, то есть его скорость относительно Земли равна нулю, то и его КЭ относительно Земли равна нулю. Экспериментально установлено, что чем больше масса тела и скорость, с которой оно движется, тем больше его КЭ. Формула кинетической энергии поступательного движения в математическом выражении следующая:

Где К — кинетическая энергия, m — масса тела, v — скорость.

Это интересно: Мангал из газового баллона своими руками — чертежи, фото, как сделать